เลขนัยสำคัญ (significant figure)

ในการทดลองทางวิทยาศาสตร์ การบันทึกผลหรือการรายงานผลการทดลอง เพื่อบอกปริมาณหรือจำนวนที่เป็นตัวเลข ตัวเลขทุกตัวต้องแสดงถึงความเที่ยงตรงของปริมาณที่วัดหรือคำนวณได้ และที่สำคัญคือ ผู้ทำการทดลองสามารถอธิบายได้ถึงที่มาของตัวเลขเหล่านั้น ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่า เลขนัยสำคัญ (significant figure) โดยเลขนัยสำคัญ ประกอบด้วย ตัวเลขทุกตัวที่แน่นอน (certainty) และตัวเลขที่ไม่แน่นอน (uncertainty) อีก 1 ตัว

ตัวเลขที่แน่นอน (certainty) หมายถึง ตัวเลขที่แสดงโดยเครื่องมือวัด ซึ่งจะเป็นเลขอื่นไม่ได้ เนื่องจากเป็นตัวเลขที่ไม่มีความคลาดเคลื่อน ตัวเลขที่แน่นอนนี้มักจะขึ้นอยู่กับความละเอียด (Least count) ของเครื่องมือวัด หรือชนิดของเครื่องมือวัด

ตัวเลขที่ไม่แน่นอน (uncertainty) หรือ ตัวเลขที่มีความคลาดเคลื่อน (error) หมายถึง ตัวเลขที่เกิดจากการคาดคะเนหรือการประมาณ หรืออาจเป็นตัวเลขหลักสุดท้ายบนจอแสดงผลของเครื่องมือวัด อย่างไรก็ตาม ผู้ทดลองควรศึกษาคู่มือการใช้เครื่องมือให้ละเอียด เพื่อให้เข้าใจว่าความคลาดเคลื่อนที่ได้จากจอแสดงผลเกิดขึ้นที่ตัวเลขหลักใดกันแน่

ตัวอย่างเช่น ถ้าใช้ไม้บรรทัดที่มีช่องสเกลเล็กสุด 1 มม. วัดความยาวได้ 114.8 มม. ตัวเลข 3 หลักแรก (1, 1, 4) เป็นตัวเลขที่แน่นอน และมีนัยสำคัญเรียงจากมากไปน้อยตามลำดับ สำหรับเลข 8 (0.8 มม.) เป็นตัวเลขที่ไม่แน่นอน ได้มาจากการประมาณโดยแบ่งขนาดช่องเล็กสุดของสเกลออกเป็น 10 ช่อง หมายความว่าในความเป็นจริง ความยาวอาจเป็น 114.7 มม. หรือ 114.9 มม. ก็ได้ ดังนั้น ผลการวัดความยาวนี้จึงเท่ากับ 114.8 มม. ซึ่งมีเลขนัยสำคัญ 4 ตัว (ตัวเลขสีแดง คือตัวเลขที่มีความไม่แน่นอน)

อีกตัวอย่างหนึ่งที่น่าสนใจ สมมุติว่าวัดปริมาตรได้ 2.98 ± 0.05 ลิตร (ความคลาดเคลื่อนที่ระบุอาจได้มาจากเครื่องมือ) หมายความว่าปริมาตรจริงอยู่ระหว่าง 2.93 ลิตร – 3.03 ลิตร ในกรณีนี้ปริมาตรจริงอาจเป็น 2.92 ลิตร หรือ 3.01 ลิตร ก็ได้ แม้ว่าตัวเลขทั้งหมดดูเหมือนจะไม่แน่นอน (เพราะไม่เหมือนกันเลยสักตัว) แต่ก็นับว่าตัวเลขทั้ง 3 มีนัยสำคัญ เนื่องจากมีเหตุผลสำคัญที่เชื่อถือได้ (มีการระบุค่าความคลาดเคลื่อน) ดังนั้น ในตัวอย่างนี้ จึงมีเลขนัยสำคัญ 3 ตัว คือ 2.98 ลิตร

การนับเลขนัยสำคัญ

ตัวเลขที่ไม่เป็นศูนย์ (1-9) มีนัยสำคัญทุกตัว ตัวอย่างเช่น ในตัวเลข 123.45 ตัวเลขทุกตัว (1, 2, 3, 4 และ 5) เป็นตัวเลขที่มีนัยสำคัญ
ศูนย์นำ (ศูนย์ทางซ้ายของตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์) ไม่มีนัยสำคัญ ตัวอย่างเช่น ในตัวเลข 0.00456 เฉพาะตัวเลข 4, 5 และ 6 เป็นตัวเลขที่มีนัยสำคัญ
ศูนย์กลาง (ศูนย์ระหว่างตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์) มีนัยสำคัญ เช่น 10.05 ตัวเลขทุกตัวมีนัยสำคัญ
ศูนย์ท้าย ในตัวเลขทศนิยม (ศูนย์ทางขวาของตัวเลขสุดท้ายที่ไม่ใช่ศูนย์) มีนัยสำคัญ เช่น ในตัวเลข 7.500 ตัวเลขทุกตัว (7, 5, 0, 0) เป็นตัวเลขที่มีนัยสำคัญ
ศูนย์ท้าย ในตัวเลขจำนวนเต็ม อาจมีนัยสำคัญหรือไม่มีนัยสำคัญก็ได้ เช่น เลข 500 จำนวนตัวเลขที่มีนัยสำคัญไม่ชัดเจน ผู้บันทึกต้องเขียนให้ชัดเจน โดยเขียนให้อยู่ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ (scientific notation) a ×10² เมื่อ 1 ≤ a < 10 และ n เป็นเลขจำนวนเต็ม เช่น 5.00 x 10² หากมีนัยสำคัญ 3 ตัว หรือ 5.0 x 10² หากมีนัยสำคัญ 2 ตัว
นัยสำคัญเป็นอนันต์ ได้แก่ปริมาณที่วัดได้โดยไม่มีความคลาดเคลื่อน เช่น จำนวนคาบการแกว่งของลูกตุ้ม จำนวนลูปของคลื่นนิ่งบนเส้นลวด เป็นต้น
ค่าคงตัวต่าง ๆ เช่น เลข 2 ในสูตร 2πR ไม่นับนัยสำคัญ หรือให้ตีความว่ามีนัยสำคัญเป็นอนันต์
ค่าคงตัวต่าง ๆ ที่มีนัยสำคัญ เช่นค่า π, e, h หรือ g ในการคำนวนต้องพิจารณาเลขนัยสำคัญของค่าคงตัวเหล่านี้ จำเป็นต้องแทนค่า ค่าคงตัวเหล่านี้ ด้วยจำนวนตัวเลขนัยสำคัญที่มากกว่าจำนวนเลขนัยสำคัญของปริมาณที่มาจากการวัด เพื่อไม่ให้ส่งผลต่อเลขนัยสำคัญของคำตอบ

การคำนวณเลขนัยสำคัญ

เลขนัยสำคัญที่ได้มาจากการวัด โดยใช้เครื่องมือประเภทต่าง ๆ นั้นมีหลักการที่ชัดเจนในการบันทึกผล แต่สำหรับการคำนวณตัวเลขที่มีความคลาดเคลื่อน วิธีที่เหมาะสมที่สุดคือ การคำนวณการแพร่กระจายของความคลาดเคลื่อน (Propagation of errors) ซึ่งมีหลักเหตุผลเชิงคณิตศาสตร์ ที่อธิบายได้ชัดเจน

สำหรับหัวข้อนี้ จะกล่าวถึงแนวทาง (ไม่ใช่กฏ) ในการกำหนดตัวเลขนัยสำคัญที่มาจากการคำนวณปริมาณที่มาจากการวัด แนวทางนี้มีจุดมุ่งหมายเพื่อหลีกเลี่ยงผลการคำนวณที่แม่นยำเกินกว่าปริมาณที่วัดได้ แต่ไม่รับประกันว่า ผลลัพธ์จะใกล้เคียงกับความไม่แน่นอน หากวัดปริมาณนั้นได้

การบวก/ลบ

ผลลัพธ์ที่คำนวณได้ ควรมีเลขนัยสำคัญตัวสุดท้ายตรงกับตัวตั้ง ที่มีทศนิยมน้อยที่สุด

ตัวอย่าง การเรโซแนนซ์ของคลื่นเสียงในท่อครั้งแรก เกิดที่ระยะ L1 = 9.5 cm ครั้งที่ 2 เกิดขึ้นที่ระยะ L3 = 28.8 cm จงหาความยาวคลื่นเสียง

\[ \lambda=2(L_3-L_1)=2(28.{\color{Red}8}-9.{\color{Red}5})=38.{\color{Red}6}\;\text{cm} \]

การคูณ/หาร

ผลลัพธ์ที่คำนวณได้ ควรมีจำนวนตัวเลขที่มีนัยสำคัญ เท่ากับจำนวนตัวเลขนัยสำคัญที่น้อยที่สุดในบรรดาปริมาณที่วัดได้ ซึ่งใช้ในการคำนวณ

ตัวอย่าง จงหาอัตราเร็วเฉลี่ยของรถที่เคลื่อนที่ในแนวเส้นตรง โดยวัดระยะทางได้ 30.0 cm และจับเวลาได้ 2.380 s

\[ \bar{v}=\frac{s}{t}=\frac{30.{\color{Red}0}}{2.38{\color{Red}0}}=12.{\color{Red}6}\;\text{cm/s} \]

การหาค่าเฉลี่ย

ในการวัดปริมาณ x เป็นจำนวน N ครั้ง ค่าเฉลี่ยของปริมาณ x หาได้จาก

\[ \bar{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i) \]

เลขนัยสำคัญของค่าเฉลี่ยย่อมขึ้นอยู่กับความคลาดเคลื่อนของค่าเฉลี่ย นั่นหมายความว่าต้องพิจารณาค่าความคลาดเคลื่อนสุ่มของข้อมูล แต่ถ้าหากต้องการแค่เลขนัยสำคัญของค่าเฉลี่ยเท่านั้น สามารถพิจารณาเลขนัยสำคัญของค่าเฉลี่ยได้จาก ส่วนเบี่ยงเบนสูงสุด (maximum deviation) หรือใช้ ความคลาดเคลื่อนสูงสุดของค่าเฉลี่ย(ΔXmax) ก็ได้ ซึ่งให้ผลลัพธ์ไม่ต่างกัน

อย่างไรก็ตาม การคำนวณค่าความคลาดเคลื่อนสูงสุดของค่าเฉลี่ย ใช้ได้ในกรณีที่ผลการวัดไม่แตกต่างกันมากนัก สำหรับค่าที่วัดได้แตกต่างจากค่าส่วนใหญ่มาก ๆ จะไม่นำมาพิจารณา แต่อย่างไรก็ตามค่าดังกล่าวยังจำเป็นต้องบันทึกไว้ เพื่อประกอบการพิจารณาหาสาเหตุ ที่ทำให้ได้ผลการวัดที่ต่างจากค่าส่วนใหญ่มาก ๆ

ตัวอย่าง จงหาค่าเฉลี่ยของผลการวัดต่อไปนี้ 13.010 g, 11.940 g, 12.070 g, 12.050 g, 12.010 g

วิธีคิด ไม่พิจารณาค่าที่วัดได้ 13.010 g เนื่องจากเป็นค่าที่แตกต่างจากค่าส่วนใหญ่ค่อนข้างมาก ดังนั้นค่าเฉลี่ยและความคลาดเคลื่อนสูงสุดของค่าเฉลี่ย(ΔXmax) หาได้จาก

\[ \bar{x}=\frac{11.940+12.070+12.050+12.010}{4}=12.0175\;\text{g} \] \[ \Delta\bar{x}=\frac{\left|x_{max}-x_{min}\right|}{2}=\frac{\left|12.050-11.940\right|}{2}=0.055\;\text{g} \]

ดังนั้น ค่าเฉลี่ย ตามหลักนัยสำคัญ คือ 12.02 g ซึ่งมีเลขนัยสำคัญ 4 ตัว

การพิจารณาส่วนเบี่ยงเบนสูงสุดก็ให้ผลที่ไม่ต่างกัน เนื่องจาก

d1 = |11.940 - 12.0175| = 0.0775 g
d2 = |12.070 - 12.0175| = 0.0525 g
d3 = |12.050 - 12.0175| = 0.0325 g
d4 = |12.010 - 12.0175| = 0.0075 g

maximum deviation = 0.0775 g

ดังนั้น ค่าเฉลี่ย ตามหลักนัยสำคัญ คือ 12.02 g ซึ่งมีเลขนัยสำคัญ 4 ตัว

ลอการิทึม

ผลลัพธ์ของลอการิทึมฐานสิบของตัวเลขสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ มีเลขนัยสำคัญของ mantissa (ตัวเลขหลังจุดทศนิยมของค่า log) เท่ากับจำนวนเลขนัยสำคัญของตัวเลขเริ่มต้น

ตัวอย่าง

log (3.45 x 10² ) = 2.537819 = 2.538

3.45 x 10² (มีนัยสำคัญ 3 ตัว) ผลลัพธ์ของ log (3.45 x 10²) = 2.538 (mantissa มีนัยสำคัญ 3 ตัว)

ตัวอย่าง (สำหรับ anti-loggarithm)

10^2.538 = 345.14374 = 345

2.538 (mantissa มีนัยสำคัญ 3 ตัว) ผลลัพธ์ของ anti-log(2.538) = 345 (มีนัยสำคัญ 3 ตัว)

การเปรียบเทียบ เลขนัยสำคัญ 2 ปริมาณ

ในการทดลองเพื่อศึกษาหลักการหรือทฤษฎี หรือทดลองเพื่อหาปริมาณบางอย่าง เรามักเปรียบเทียบผลการทดลองกับผลการคำนวน และในหลายครั้งก็มีการเปรียบเทียบผลการทดลองกับผลการทดลองด้วยกันเอง เพื่ออธิบายถึงความสมเหตุสมผลของการทดลอง กับหลักการที่ใช้ในการอธิบายการทดลองนั้น ๆ เช่นในการทดลองเพื่อศึกษาหลักการอนุรักษ์โมเมนตัม เราต้องเปรียบเทียบโมเมนตัมก่อน และหลัง หรือการทดลองเพื่อหาความเร่งที่เราอาจทำนายผลล่วงหน้าโดยการคำนวนทางทฤษฎี แล้วเปรียบเทียบกับผลการทดลองหาความเร่ง ว่าได้คำตอบที่ตรงกันหรือไม่ เป็นต้น

ตัวอย่าง 1 ผลการทดลองวัดโมเมนตัมเชิงเส้นก่อนชนได้ 10.12 kg m/s วัดโมเมนตัมเชิงเส้นหลังชนได้ 10.3 kg m/s จากการทดลองนี้ โมเมนตัมเชิงเส้นอนุรักษ์ หรือไม่ เพราะเหตุใด

เราสามารพิจารณาเฉพาะตัวเลขนัยสำคัญ 2 อันดับแรก ซึ่งเป็นตัวเลขที่แน่นอน (10 kg m/s= 10 kg m/s) แล้วสรุปได้เลยว่าโมเมนตัมเชิงเส้น ในกรณีการชนนี้ เป็นไปตามหลักการอนุรักษ์โมเมนตัม เนื่องจากตัวเลขนัยสำคัญลำดับที่ 3 ของกรณีหลังชน เป็นตัวเลขที่มีความไม่แน่นอน

ตัวอย่าง 2 การทดลองเพื่อหาอัตราเร่งของการเคลื่อนที่บนพื้นระดับ ได้ a_{ทดลอง} = 10.12 m/s² แต่ผลการคำนวณทางทฤษฎีได้ a_{คำนวณ} = 10.235 m/s² ผลการทดลองนี้มีความสมเหตุสมผลหรือไม่ เพราะเหตุใด

ก่อนอื่นพิจารณาว่าอัตราเร่งที่ได้จากการทดลองกับผลคำนวณ เท่ากันหรือไม่ ดังตัวอย่างที่ 1 ให้พิจารณาเลขนัยสำคัญส่วนที่เป็นตัวเลขที่มีความแน่นอน นั่นคือ เลขนัยสำคัญ 3 ลำดับแรก ซึ่งจะเห็นได้ชัดว่า 10.1 m/s² ≠ 10.2 m/s² ดังนั้น อัตราเร่งที่ได้จากการทดลอง ไม่เท่ากับผลการคำนวณ

การทดลองนี้ มีความสมเหตุสมผลหรือไม่ ถ้าการคำนวณไม่คำนึงถึงแรงต้านของการเคลื่อนที่ ก็ถือว่าผลการทดลองนี้มีความสมเหตุสมผล เนื่องจากแรงต้านอาจทำให้อัตราเร่งที่ได้จากการทดลองน้อยกว่าผลจากการคำนวณ