ความคลาดเคลื่อนในการวัด

ความไม่แน่นอน (uncertainty) หรือความคลาดเคลื่อน (error) ในการวัด ไม่ใช่ความผิดพลาดในการวัด การอ่านค่าผิด การวัดผิดวิธี หรือความสะเพร่าของผู้ทำการวัด ผู้เขียนจะไม่ขอกล่าวถึง เนื่องจากไม่มีเหตุผลในการอธิบายสิ่งเหล่านั้น ความจริงคือสิ่งเหล่านั้นไม่ควรเกิดขึ้นเลยต่างหาก (สามารถหลีกเลี่ยงได้เมื่อผู้ทำการทดลองมีความรู้ความเข้าใจ) ในหัวข้อนี้จะอธิบายถึงความคลาดเคลื่อนซึ่งเกิดจากขีดจำกัดของผู้วัด ขีดจำกัดของเครื่องมือ การติดตั้งอุปกรณ์ และความคลาดเคลื่อนที่ไม่ทราบสาเหตุ โดยแบ่งสาเหตุของความคลาดเคลื่อนได้เป็น 3 ประเภท ได้แก่

  • ความคลาดเคลื่อนจากการอ่านค่า (Reading error)
  • ความคลาดเคลื่อนเชิงระบบ (Systematic error)
  • ความคลาดเคลื่อนแบบสุ่ม (Random error)

โดยความคลาดเคลื่อนทั้ง 3 ประเภทนี้จะเกิดขึ้นเสมอ แต่หากเข้าใจถึงสาเหตุการเกิดความคลาดเคลื่อนเหล่านี้แล้ว ย่อมมีวิธีทำให้ความคลาดเคลื่อนลดลงได้

1. ความคลาดเคลื่อนจากการอ่านค่า (Reading error)

ความคลาดเคลื่อนประเภทนี้ เกิดจากขีดจำกัดในการอ่านค่า อาจเกิดจากการประมาณโดยสายตา หรือเกิดจากข้อจำกัดของเครื่องมือ ความคลาดเคลื่อนประเภทนี้จะเกิดขึ้นทุกครั้งเมื่อทำการวัด แต่สามารถลดความคลาดเคลื่อนประเภทนี้ได้ โดยเลือกใช้อุปกรณ์ที่มีความละเอียดในการวัดมากขึ้น หรือลดอัตราส่วนของความคลาดเคลื่อนโดยการเพิ่มขนาดของสิ่งที่วัดหากสามารถทำได้

เครื่องมือวัดประเภทท Analog scale
ไม้บรรทัด
สกรู (screw) ในรูปมีความยาวเท่าใด เมื่อวัดด้วยไม้บรรทัดที่มีขนาดช่องเล็กที่สุด คือ 0.1 cm

หากผู้วัดมีความมั่นใจว่า สกรูมีความยาว มากกว่า 5.0 cm แต่ไม่ถึง 5.1 cm

ความยาวที่วัดได้ควรเป็น

แต่ไม่ควรเป็น 5.05±0.05 cm เพราะนั่นหมายถึงความยาวตั้งแต่ 5.00 cm - 5.10 cm ซึ่งดูเหมือนจะขัดแย้งกับความมั่นใจว่า สกรูมีความยาว มากกว่า 5.0 cm แต่ไม่ถึง 5.1 cm แต่การรายงานความยาวเป็น 5.05±0.05 cm ก็ไม่ผิด เพียงแต่มีความคลาดเคลื่อนสูง กลับกันการรายงานความยาวที่คลาดเคลื่อนต่ำเกินไป เช่น 5.05±0.01 cm อาจไม่เป็นผลดี เพราะหากมีความคลาดเคลื่อนเชิงระบบเพียงเล็กน้อย อาจทำให้ผลการวัดที่มีความคลาดเคลื่อนต่ำเกินไปผิดพลาดได้

ตาชั่ง Analog scale

ผลการชั่งมวล ด้วยตาชั่งที่มีช่องสเกลเล็กสุด 0.1 g ผู้วัดต้องประมาณตัวเลขที่ไม่แน่นอนในตำแหน่งทศนิยมตำแหน่งที่ 2 ในหน่วย g

m = 24.73±0.02 g

ค่าความคลาดเคลื่อนที่เหมาะสมขึ้นอยู่กับการประมาณของผู้วัด ซึ่งในตัวอย่างนี้ ผู้วัดยืนยันว่าค่ามวลที่วัดได้อยู่ในช่วง 24.71 g - 24.75 g

กรณีสิ่งที่วัดไม่ได้อยู่ติดกับขีดสเกล

กรณีการวัดที่วัตถุไม่ได้อยู่ติดกับขีดสเกล การประมาณในตำแหน่งที่เล็กกว่าขีดสเกลอาจทำได้ยาก ความไม่แน่นอนในการวัดอาจเกิดในตำแหน่งสเกลเล็กของเครื่องมือวัด เช่นในตัวอย่างนี้ วัดตำแหน่งปลายสปริงได้ 3.9±0.2 cm นั่นหมายความว่าผู้วัด มีความมั่นใจว่า ตำแหน่งปลายสปริงอยู่ในช่วงตำแหน่ง 3.7 cm - 4.1 cm อย่างแน่นอน

เครื่องมือวัดประเภท Digital scale
Digital multimeter

ความคลาดเคลื่อนในการวัดจะมีค่าเปลี่ยนแปลงไปตามย่านการวัดต่างๆ จำเป็นต้องศึกษาคู่มือการใช้งานสำหรับเครื่องมือแต่ละรุ่น

สำหรับการวัดความต้านทานโดยใช้มัลติมิเตอร์ peaktech 2005 ในการคำนวณความคลาดเคลื่อนของการวัดความต้านทาน เราต้องพิจารณาความแม่นยำ (accuracy) ตามย่านการวัด (range) ที่กำหนดไว้ในตาราง โดย

  • "rdg" ย่อมาจาก "reading" ซึ่งหมายถึงค่าที่วัดได้
  • "dgt" ย่อมาจาก "digit" ซึ่งหมายถึงความละเอียดในการแสดงผลของเครื่องมือ (Resolution)
ในตัวอย่างนี้ วัดความต้านทานได้ 0.809 kΩ (หรือ 809 Ω)
ซึ่งอยู่ในย่านการวัด (Range) 2 kΩ (2000 Ω) ที่มีความแม่นยำ ± 0.8% rdg. + 5 dgt.
การคำนวณความคลาดเคลื่อน :
  • ความคลาดเคลื่อนจาก % reading:
    • 0.8% ของ 809 Ω = 0.008 × 809 = 6.472 Ω
  • ความคลาดเคลื่อนจาก digit:
    • 5 digit = 5 Ω
ความคลาดเคลื่อนในการวัดที่ 809 Ω คือ 6.472 Ω + 5 Ω = 11.472 Ω

ดังนั้น ความต้านทานที่วัดได้ คือ R = 0.81 ± 0.1 kΩ
หรือ R = (8.1 ± 0.1) × 102 Ω

2. ความคลาดเคลื่อนเชิงระบบ (Systematic error)

ความคลาดเคลื่อนประเภทนี้เกิดจากหลายสาเหตุ อาจเกิดจากตัวเครื่องมือวัดเอง หรือเกิดจากการติดตั้งอุปกรณ์การทดลองที่ไม่เป็นไปตามหลักการทดลอง ความคลาดเคลื่อนประเภทนี้มักมีรูปแบบที่ชัดเจน เช่นเครื่องมือที่ศูนย์ไม่ตรง มักจะแสดงผลการวัดในทิศทางที่มากกว่าหรือน้อยกว่าค่าจริงในทิศทางใดทิศทางหนึ่งเสมอ ไม่สามารถลดความคลาดเคลื่อนประเภทนี้ได้เมื่อทำการวัดซ้ำหลาย ๆ ครั้ง วิธีแก้ปัญหาคือต้องแก้ที่ต้นเหตุ ถ้าเกิดจากเครื่องมืออาจแก้โดยการเทียบมาตรฐานเครื่องมือก่อนทำการวัด (Calibration) หากเกิดจากการติดตั้งอุปกรณ์ไม่เป็นไปตามหลักการ ต้องแก้ปัญหาที่ตรงนั้น เช่น หากทำการทดลองบนพื้นระดับต้องตรวจสอบระดับให้ถูกต้องเสียก่อน

3. ความคลาดเคลื่อนสุ่ม (Random error)

ความคลาดเคลื่อนประเภทนี้ เป็นความคลาดเคลื่อนที่ไม่รู้สาเหตุ ไม่มีรูปแบบ คาดเดาไม่ได้ เช่น ในการวัดคาบการแกว่งของลูกตุ้ม เราอาจวัดคาบได้ไม่เท่ากันในแต่ละครั้ง และไม่สามารถคาดเดาได้ว่า ในการวัดครั้งถัดไป จะวัดค่าได้มากกว่า หรือน้อยกว่าค่าก่อนหน้านั้น เมื่อเราทำการวัดซ้ำหลาย ๆ ครั้ง ค่าที่เป็นตัวแทนของการวัด คือ ค่าเฉลี่ย (Average หรือ Mean) ส่วนค่าที่บอกการกระจายตัวของค่าที่วัดได้ ว่าห่างจากค่าเฉลี่ยมากหรือน้อย คือ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard deviation, SD) ถ้าจำนวนครั้งในการวัดมากพอที่จะสรุปได้ว่า เป็นการแจกแจงแบบปกติ (Normal Distribution) สามารถคำนวณความคลาดเคลื่อนสุ่มได้จากส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (SD) หารด้วยรากที่สองของจำนวนครั้งที่วัด (Sample Size - N)

ความคลาดเคลื่อนสุ่ม: \( = \frac{SD}{\sqrt{N}}\)

ความคลาดเคลื่อนนี้ เรียกสั้น ๆ ว่า "Standard error : SE" ชื่อเต็มคือ ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน (Standard Error of the Mean - SEM) เป็นการวัดค่าความไม่แน่นอนของค่าเฉลี่ย

ตัวอย่าง คำนวณความมคลาดเคลื่อนสุ่มโดยใช้ SEM

สมมุติวัดเวลา 5 ครั้ง โดยได้ค่าดังนี้ 10.64, 11.52. 10.90, 11.42, 10.68 วินาที

  • คำนวณค่าเฉลี่ย
    • \[ \bar{t}=\frac{10.64+11.52+10.90+11.42+10.68}{5}=11.032\;\text{s} \]
  • คำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
    • \[ \text{SD} = \sqrt{\frac{1}{4}\left(\left(10.64-11.032\right)^2+...+\left(10.68-11.032\right)^2\right)} = 0.1849\;\text{s} \]
  • คำนวณ SEM
    • \[ \text{SEM} = \frac{0.1849}{\sqrt{5}}=0.413\;\text{s} \]
  • ค่าเฉลี่ยและความคลาดเคลื่อนสุ่ม
    • \[ \bar{t}=11.0\pm 0.4\;\text{s} \]

สำหรับการวัดที่กลุ่มตัวอย่างมีขนาดเล็ก (การวัดน้อยครั้ง) ซึ่งยังสรุปไม่ได้ว่ากลุ่มตัวอย่างมีการแจกแจงแบบปกติหรือไม่ อาจพิจารณาเพียงแค่ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (Mean Deviation หรือ MD) เพื่อรายงานความไม่แน่นอนของค่าเฉลี่ยได้

ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย คือ การวัดการกระจายตัวของข้อมูลโดยใช้ค่าความแตกต่างสัมบูรณ์ระหว่างแต่ละค่าข้อมูลและค่าเฉลี่ย วิธีการนี้เหมาะกับการใช้ประมาณความคลาดเคลื่อนของข้อมูลที่มีการวัดซ้ำน้อยครั้ง จนไม่สามารถบอกได้ว่าข้อมูลที่วัดมีการแจกแจงแบบปกติหรือไม่

ตัวอย่าง คำนวณความมคลาดเคลื่อนสุ่มโดยใช้ MD

สมมุติวัดเวลา 5 ครั้ง โดยได้ค่าดังนี้ 10.64, 11.52. 10.90, 11.42, 10.68 วินาที

  • คำนวณค่าเฉลี่ย
    • \[ \bar{t}=\frac{10.64+11.52+10.90+11.42+10.68}{5}=11.032\;\text{s} \]
  • หาค่าความแตกต่างสัมบูรณ์ระหว่างแต่ละค่าข้อมูลกับค่าเฉลี่ย
    • \[ \begin{align*} \left|d_1\right| &= \left|10.64 - 11.032\right| = 0.392\;\text{s} \\ \left|d_2\right| &= \left|11.52 - 11.032\right| = 0.488\;\text{s} \\ \left|d_3\right| &= \left|10.90 - 11.032\right| = 0.132\;\text{s} \\ \left|d_4\right| &= \left|11.42 - 11.032\right| = 0.388\;\text{s} \\ \left|d_5\right| &= \left|10.68 - 11.032\right| = 0.352\;\text{s} \end{align*} \]
  • หาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย, MD
    • \[ \text{MD}=\frac{0.392+0.488+0.132+0.388+0.352}{5}=0.3504\;\text{s} \]
  • ค่าเฉลี่ยและความคลาดเคลื่อนสุ่ม
    • \[ \bar{t}=11.0\pm 0.4\;\text{s} \]

When to Use Mean Deviation
  • Small Datasets: เมื่อกลุ่มตัวอย่างมีขนาดเล็กซึ่งค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation) อาจไม่น่าเชื่อถือ
  • Non-Normal Distributions: เมื่อข้อมูลไม่เป็นไปตามการแจกแจงแบบปกติ ค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ย (Mean Deviation) สามารถบอกการแพร่กระจายที่แม่นยำยิ่งขึ้น
  • Teaching and Simple Analysis: เพื่อวัตถุประสงค์ทางการศึกษาและการวิเคราะห์อย่างง่าย ค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ย (Mean Deviation) มีประโยชน์ในการอธิบายแนวคิดเรื่องการกระจายตัวโดยไม่ซับซ้อนเมื่อเทียบกับ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)

ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย(Mean Deviation) เป็นการวัดความแปรปรวนที่มีประโยชน์ โดยเฉพาะชุดข้อมูลขนาดเล็กและการแจกแจงที่ไม่ปกติ โดยให้วิธีที่ตรงไปตรงมาในการทำความเข้าใจการกระจายตัวของจุดข้อมูลรอบๆ ค่าเฉลี่ย