01
ตัวเลขที่ไม่เป็นศูนย์
ตัวเลข 1–9 มีนัยสำคัญทุกตัว
123.45
5 SF
PHYSICS NOTES
Significant Figures
เลขนัยสำคัญ
การบันทึกผลการทดลองไม่ได้มีความหมายเพียงแค่การเขียนตัวเลข แต่ตัวเลขที่รายงานควรสะท้อนความละเอียดของการวัด และสามารถอธิบายได้ว่าตัวเลขเหล่านั้นมาจากไหน
INTRODUCTION
เลขนัยสำคัญคืออะไร?
ในการทดลองทางวิทยาศาสตร์ การบันทึกผลหรือการรายงานผลการทดลอง เพื่อบอกปริมาณหรือจำนวนที่เป็นตัวเลข ตัวเลขทุกตัวควรแสดงถึง ความละเอียดของปริมาณที่วัดหรือคำนวณได้ และที่สำคัญคือ ผู้ทำการทดลองควรสามารถอธิบายได้ถึงที่มาของตัวเลขเหล่านั้น
ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่า เลขนัยสำคัญ (significant figures) โดยทั่วไป เลขนัยสำคัญของค่าที่วัดประกอบด้วย ตัวเลขที่สามารถอ่านได้จากเครื่องมืออย่างมีความมั่นใจ และหลักสุดท้ายที่ผู้ทดลองต้องประมาณหรือประเมิน
ประเด็นสำคัญ
เลขนัยสำคัญไม่ได้หมายถึง “ตัวเลขที่ถูกต้องทั้งหมด” แต่เป็นตัวเลขที่เรามีเหตุผลเพียงพอที่จะรายงาน จากการวัดหรือจากข้อมูลที่ใช้ในการคำนวณ
MEASUREMENT
ตัวเลขที่แน่นอนและตัวเลขที่ไม่แน่นอน
การทำความเข้าใจที่มาของแต่ละหลักเป็นพื้นฐานสำคัญ ก่อนที่จะเรียนรู้วิธีนับเลขนัยสำคัญ
01
ตัวเลขที่แน่นอน (certainty)
หมายถึงตัวเลขที่สามารถอ่านได้จากเครื่องมือวัด โดยผู้ทดลองมีความมั่นใจว่าค่าที่อ่านในหลักนั้น เป็นค่าที่เครื่องมือแสดงหรือสเกลกำหนดไว้อย่างชัดเจน
จำนวนหลักที่อ่านได้แน่นอนมักขึ้นอยู่กับ ความละเอียดของเครื่องมือ (least count) และลักษณะของเครื่องมือวัด
02
ตัวเลขที่ไม่แน่นอน (uncertain digit)
หมายถึงหลักสุดท้ายที่ผู้ทดลองต้องประมาณหรือประเมิน จากการอ่านเครื่องมือ หรือเป็นหลักที่มีความไม่แน่นอน ตามข้อกำหนดของเครื่องมือ
สำหรับเครื่องมือดิจิทัล ผู้ทดลองควรศึกษาคู่มือของเครื่องมือ เพื่อทำความเข้าใจว่าแต่ละหลักที่แสดงบนหน้าจอมีความหมายอย่างไร และไม่ควรถือว่าหลักสุดท้ายของจอแสดงผลเป็น uncertainty ของเครื่องมือทั้งหมดโดยอัตโนมัติ
EXAMPLE — RULER
114.8
mm
หลัก 8 เป็นหลักที่ไม่แน่นอน
ตัวอย่างเช่น หากใช้ไม้บรรทัดที่มีช่องสเกลเล็กสุด 1 mm วัดความยาวได้ 114.8 mm ตัวเลข 3 หลักแรก คือ 1, 1 และ 4 เป็นค่าที่อ่านได้จากสเกล ส่วนเลข 8 ในหลัก 0.1 mm เป็นค่าที่ผู้ทดลองประมาณจากการอ่านสเกล
ดังนั้น ผลการวัดจึงสามารถรายงานเป็น 114.8 mm ซึ่งมีเลขนัยสำคัญ 4 ตัว โดยหลักสุดท้ายเป็นหลักที่มีความไม่แน่นอน
UNCERTAINTY
เมื่อมีการระบุค่าความไม่แน่นอน
การระบุ uncertainty ช่วยให้เราทราบช่วงค่าที่การวัดนั้น สามารถแทนได้อย่างมีเหตุผล
2.98 ± 0.05 L
2.93 L
ค่าต่ำสุด
3.03 L
ค่าสูงสุด
สมมุติวัดปริมาตรได้ 2.98 ± 0.05 L โดยค่าความไม่แน่นอนนี้อาจได้มาจากข้อกำหนดของเครื่องมือ ในกรณีนี้ ช่วงค่าที่สอดคล้องกับการรายงานดังกล่าวคือ 2.93–3.03 L
แม้ว่าหลักต่าง ๆ ของค่า 2.98 จะไม่ได้เป็นค่าที่แน่นอน ในความหมายของการวัด แต่ตัวเลขทั้งสามหลักมีนัยสำคัญ เพราะการรายงานมีข้อมูลเกี่ยวกับความไม่แน่นอนกำกับอยู่ด้วย ดังนั้น ในตัวอย่างนี้จึงรายงานค่าเป็น 2.98 L ซึ่งมีเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
Significant Figures กับ Uncertainty
เลขนัยสำคัญช่วยสื่อระดับความละเอียดของค่าที่รายงาน แต่ไม่ได้บอก uncertainty อย่างสมบูรณ์ หากต้องการอธิบายความไม่แน่นอนของผลการวัด ควรรายงานค่า uncertainty แยกต่างหาก
COUNTING
การนับเลขนัยสำคัญ
กฎพื้นฐานสำหรับพิจารณาว่าตัวเลขแต่ละหลัก มีนัยสำคัญหรือไม่
02
ศูนย์นำ
ศูนย์ทางซ้ายของตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ ไม่มีนัยสำคัญ
0.00456
3 SF
03
ศูนย์กลาง
ศูนย์ที่อยู่ระหว่างตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ มีนัยสำคัญ
10.05
4 SF
04
ศูนย์ท้ายในทศนิยม
ศูนย์ที่อยู่ท้ายตัวเลขและอยู่หลังจุดทศนิยม มีนัยสำคัญ
7.500
4 SF
05
ศูนย์ท้ายของจำนวนเต็ม
อาจไม่ชัดเจนว่าศูนย์ท้ายมีนัยสำคัญหรือไม่ จึงควรใช้สัญกรณ์วิทยาศาสตร์
5.00 × 10²
3 SF
5.0 × 10²
2 SF
06
ปริมาณที่ได้จากการนับ
ปริมาณที่ได้จากการนับโดยตรง เช่น จำนวนคาบการแกว่งของลูกตุ้ม หรือจำนวนลูปของคลื่นนิ่ง สามารถถือว่าเป็นค่าที่แน่นอน และให้ตีความว่ามีนัยสำคัญเป็นอนันต์
N = 20 loops
Exact count
CONSTANTS
ค่าคงตัวในการคำนวณ
อย่าให้การประมาณค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์ กลายเป็นข้อจำกัดของผลการทดลอง
ในการคำนวณจากข้อมูลการทดลอง ค่าบางส่วนเกิดจากนิยามหรือการนับ เช่น เลข 2 ในสูตร 2πR ไม่ได้เกิดจากการวัด จึงสามารถถือว่าเป็นค่าที่แน่นอน หรือให้ตีความว่ามีนัยสำคัญเป็นอนันต์
สำหรับค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์ เช่น π ควรใช้ค่าที่มีความละเอียดเพียงพอ เช่น ค่าที่แสดงจากเครื่องคิดเลข แทนการใช้ค่าประมาณอย่าง 3.14 หรือ 22/7 แล้วจึงปัดเศษผลลัพธ์เมื่อสิ้นสุดการคำนวณ
LAB EXAMPLE
สมมุติว่าในการทดลองวัดเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมได้ d = 24.70 cm และต้องการคำนวณพื้นที่จาก A = π(d/2)²
ใช้ π = 3.14
$$A
=3.14
\left(\frac{24.70}{2}\right)^2
=478.920\ldots\;\text{cm}^2$$
ใช้ค่า π จากเครื่องคิดเลข
$$A
=\pi
\left(\frac{24.70}{2}\right)^2
=479.163\ldots\;\text{cm}^2$$
คำตอบต่างกัน 0.24 cm² ทั้งที่ใช้ข้อมูลการวัดเดียวกัน ดังนั้น จะเห็นว่า การปัดค่า π ตั้งแต่ต้นทำให้ผลการคำนวณเปลี่ยนไปจริง
แนวทางในการทำแลบ
ดังนั้น ในการคำนวณจากข้อมูลการทดลอง ควรใช้ค่า π ที่ละเอียดเพียงพอจากเครื่องคิดเลขหรือซอฟต์แวร์ และเก็บการปัดเศษไว้ที่ขั้นตอนสุดท้าย เพื่อให้ความละเอียดของผลลัพธ์ถูกกำหนดโดยข้อมูลการวัด ไม่ใช่โดยค่าประมาณของค่าคงตัวที่เราเลือกใช้
ในตัวอย่างนี้ ค่า 24.70 cm มีเลขนัยสำคัญ 4 ตัว ดังนั้นความละเอียดของผลลัพธ์ควรถูกกำหนดโดยข้อมูลจากการวัด ไม่ใช่จากการเลือกใช้ค่า π แบบหยาบ ดังนั้น พื้นที่ ที่คำนวณได้ตามหลักเลขนัยสำคัญ คือ 479.2 cm² ซึ่งมีเลขนัยสำคัญ 4 ตัว
หลักคิดสำคัญ
อย่าให้ค่าคงตัวที่เราเลือกใช้ เป็นตัวจำกัดความละเอียดของข้อมูลที่อุตส่าห์วัดมา
CALCULATIONS
การคำนวณเลขนัยสำคัญ
เลขนัยสำคัญที่ได้มาจากการวัดโดยใช้เครื่องมือประเภทต่าง ๆ มีหลักการที่ค่อนข้างชัดเจนในการบันทึกผล แต่เมื่อเรานำค่าเหล่านั้น มาคำนวณ ความไม่แน่นอนของผลลัพธ์สามารถวิเคราะห์ได้อย่างเป็นระบบ ด้วยแนวคิดเรื่อง การแพร่กระจายของความไม่แน่นอน (propagation of uncertainty)
สำหรับหัวข้อนี้จะกล่าวถึงแนวทางในการกำหนดเลขนัยสำคัญ ของผลลัพธ์จากการคำนวณปริมาณที่มาจากการวัด แนวทางนี้มีจุดมุ่งหมายเพื่อหลีกเลี่ยงการรายงานผลที่ละเอียด เกินกว่าข้อมูลที่ใช้ในการคำนวณ
เลขนัยสำคัญเป็น “แนวทาง” ไม่ใช่การแทนที่ uncertainty
หากต้องการวิเคราะห์ความไม่แน่นอนของผลลัพธ์อย่างจริงจัง ควรใช้การคำนวณ propagation of uncertainty แทนการใช้เลขนัยสำคัญเพียงอย่างเดียว
ADDITION & SUBTRACTION
การบวกและการลบ
ผลลัพธ์ควรมีตำแหน่งทศนิยมสุดท้ายสอดคล้องกับปริมาณ ที่มีตำแหน่งทศนิยมน้อยที่สุด
ตัวอย่าง
การเรโซแนนซ์ของคลื่นเสียงในท่อครั้งแรกเกิดที่ระยะ L₁ = 9.5 cm และครั้งที่สองเกิดที่ระยะ L₃ = 28.8 cm จงหาความยาวคลื่นเสียง
$$\lambda
=2(L_3-L_1)
=2(28.8-9.5)
=38.6\;\text{cm}$$
ค่าที่นำมาลบมีทศนิยม 1 ตำแหน่ง
ดังนั้นผลลัพธ์จึงรายงานถึงทศนิยม 1 ตำแหน่ง
MULTIPLICATION & DIVISION
การคูณและการหาร
ผลลัพธ์ควรมีจำนวนเลขนัยสำคัญเท่ากับปริมาณที่มี จำนวนเลขนัยสำคัญน้อยที่สุดในบรรดาค่าที่นำมาคำนวณ
ตัวอย่าง
จงหาอัตราเร็วเฉลี่ยของรถที่เคลื่อนที่ในแนวเส้นตรง โดยวัดระยะทางได้ 30.0 cm และวัดเวลาได้ 2.380 s
$$\bar{v}
=\frac{s}{t}
=\frac{30.0}{2.380}
=12.605\ldots
\;\text{cm/s}$$
$$\bar{v}=12.6\;\text{cm/s}$$
ระยะทางมีเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
ส่วนเวลามีเลขนัยสำคัญ 4 ตัว
ดังนั้นผลลัพธ์จึงรายงานด้วยเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
AVERAGE
การหาค่าเฉลี่ย
การวัดปริมาณเดิมหลายครั้งช่วยลดผลของความแปรปรวนแบบสุ่ม และช่วยให้ประเมินค่าที่เหมาะสมสำหรับการรายงานผลได้
ในการวัดปริมาณ x เป็นจำนวน N ครั้ง ค่าเฉลี่ยของปริมาณ x หาได้จาก
$$\bar{x}
=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_i$$
หากผลการวัดบางค่าต่างจากค่าที่เหลืออย่างชัดเจน ไม่ควรตัดค่านั้นออกเพียงเพราะแตกต่างจากกลุ่ม แต่ควรตรวจสอบสาเหตุก่อน เช่น ความผิดพลาดในการอ่านเครื่องมือ ความผิดพลาดในการบันทึก หรือเงื่อนไขของการทดลองที่แตกต่างกัน
ตัวอย่าง
จงหาค่าเฉลี่ยของผลการวัดต่อไปนี้
13.010 g, 11.940 g, 12.070 g, 12.050 g, 12.010 g
ขั้นแรก: ตรวจสอบข้อมูล
ค่า 13.010 g แตกต่างจากกลุ่มข้อมูลที่เหลืออย่างชัดเจน จึงควรตรวจสอบสาเหตุของค่าดังกล่าวก่อน
ในตัวอย่างนี้ สมมุติว่าตรวจสอบแล้วพบว่า ค่า 13.010 g เกิดจากความผิดพลาดในการวัด จึงไม่นำค่านี้มาคำนวณ
ค่าเฉลี่ย
$$\bar{x}
=\frac{11.940+12.070+12.050+12.010}{4}
=12.0175\;\text{g}$$
ตรวจสอบการกระจายของข้อมูล
สำหรับการวัดจำนวนไม่มาก อาจใช้ maximum deviation หรือค่าความแตกต่างสูงสุดจากค่าเฉลี่ย เพื่อดูว่าผลการวัดกระจายออกจากค่าเฉลี่ยมากเพียงใด
$$\Delta x_{\max}
=\max\left|x_i-\bar{x}\right|$$
จากข้อมูลนี้ ค่าที่ห่างจากค่าเฉลี่ยมากที่สุดคือ 11.940 g ดังนั้น
$$\Delta x_{\max}
=|11.940-12.0175|
=0.0775\;\text{g}
\approx0.08\;\text{g}$$
ค่านี้แสดงให้เห็นว่าผลการวัดมีการกระจายอยู่ในระดับประมาณ ±0.08 g ดังนั้น การแสดงค่าเฉลี่ยละเอียดถึงระดับ 12.0175 g จึงไม่เหมาะสม เนื่องจากมีความไม่แม่นอนของตัวเลข ในตำแหน่งทศนิยมหลักที่ 2
หากพิจารณาเฉพาะเลขนัยสำคัญ ค่าเฉลี่ยจึงควรรายงานเป็น 12.02 g โดยให้ตำแหน่งทศนิยมของค่าเฉลี่ยสอดคล้องกับ ระดับความไม่แน่นอนหรือการกระจายของผลการวัด แทนการรายงานทุกหลักที่ได้จากการคำนวณ
LOGARITHM
ลอการิทึม
การรายงานผลจาก logarithm และ anti-logarithm มีหลักการพิจารณาจำนวนหลักแตกต่างจากการบวก ลบ คูณ และหาร
LOGARITHM
สำหรับ logarithm ฐานสิบ จำนวนหลักของ mantissa ของผลลัพธ์จะสัมพันธ์กับจำนวนเลขนัยสำคัญ ของค่าที่นำเข้า
$$\log(3.45\times10^2)
=2.537819\ldots$$
$$=2.538$$
3.45 × 10² มีเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
ดังนั้น mantissa ของผลลัพธ์ควรรายงานเป็น 3 ตำแหน่ง
หลังจุดทศนิยม
ANTI-LOGARITHM
สำหรับ anti-logarithm จำนวนเลขนัยสำคัญ ของผลลัพธ์จะสัมพันธ์กับจำนวนตำแหน่งทศนิยม ของค่าที่อยู่ในเลขชี้กำลัง
$$10^{2.538}
=345.14374\ldots$$
$$=345$$
ค่า 2.538 มี 3 ตำแหน่งหลังจุดทศนิยม
ดังนั้นผลของ anti-logarithm จึงรายงานเป็น
345 ซึ่งมีเลขนัยสำคัญ 3 ตัว
IN THE LAB
การเปรียบเทียบค่าจากการทดลอง
เลขนัยสำคัญช่วยให้เราเห็นระดับความละเอียดของผลการทดลอง แต่การตัดสินความสอดคล้องของผลการทดลองควรพิจารณา uncertainty ร่วมด้วย
ในการทดลองเพื่อศึกษาหลักการหรือทฤษฎี หรือการทดลองเพื่อหาปริมาณบางอย่าง เรามักเปรียบเทียบผลการทดลองกับผลการคำนวณ และในหลายกรณีก็เปรียบเทียบผลการทดลองด้วยกันเอง
ตัวอย่างเช่น ในการทดลองเพื่อศึกษาหลักการอนุรักษ์โมเมนตัม เราอาจเปรียบเทียบโมเมนตัมก่อนและหลังการชน หรือในการทดลองเพื่อหาความเร่ง เราอาจเปรียบเทียบค่าความเร่งที่ได้จากการทดลอง กับค่าที่คำนวณจากแบบจำลองทางทฤษฎี
EXAMPLE 01
การอนุรักษ์โมเมนตัม
ผลการทดลองวัดโมเมนตัมเชิงเส้นก่อนชนได้ 10.12 kg·m/s และหลังชนได้ 10.3 kg·m/s จากผลการทดลองนี้ สามารถกล่าวได้หรือไม่ว่า โมเมนตัมเชิงเส้นอนุรักษ์?
ก่อนชน
10.12
kg·m/s
↔
หลังชน
10.3
kg·m/s
ทั้งสองค่ามีค่าเท่ากันในระดับตัวเลขที่มีความแน่นอน โดยความแตกต่างปรากฏในหลักท้าย ๆ ซึ่งเป็นหลักที่เกี่ยวข้องกับความไม่แน่นอนของการวัด
เนื่องจากตัวเลขที่แน่นอนมีค่าเท่ากัน ต่างกันเฉพาะตัวเลขที่ไม่แน่นอน จึงสามารถสรุปได้ว่า ผลการทดลองสอดคล้องกับหลักการอนุรักษ์โมเมนตัม
สิ่งที่ควรพิจารณา
อย่างไรก็ตาม เลขนัยสำคัญเพียงอย่างเดียว ไม่เพียงพอสำหรับการตัดสินว่าผลการทดลอง เป็นไปตามกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมหรือไม่ ควรพิจารณา uncertainty ของการวัดร่วมด้วย
EXAMPLE 02
เปรียบเทียบกับค่าทางทฤษฎี
การทดลองเพื่อหาอัตราเร่งของการเคลื่อนที่บนพื้นระดับ ได้ค่า aทดลอง = 10.12 m/s² ขณะที่ผลการคำนวณทางทฤษฎีได้ aคำนวณ = 10.235 m/s² จากผลการทดลองนี้ สามารถกล่าวได้หรือไม่ว่า ผลการทดลองสอดคล้องกับค่าทางทฤษฎี?
ทดลอง
10.12
m/s²
↔
คำนวณ
10.235
m/s²
ทั้งสองค่ามีค่าต่างกันในระดับตัวเลขที่มีความแน่นอน จึงควรสรุปว่า ผลการทดลองไม่สอดคล้องกับผลการคำนวณทางทฤษฎี
สิ่งที่ควรพิจารณา
การตัดสินว่าค่าทดลองสอดคล้องกับค่าทางทฤษฎีหรือไม่ ควรพิจารณา uncertainty ของผลการทดลอง ร่วมกับสมมติฐานและแบบจำลองที่ใช้ในการคำนวณ
ตัวอย่างเช่น หากแบบจำลองทางทฤษฎีไม่ได้นำแรงต้าน หรือแรงเสียดทานบางส่วนมาพิจารณา ผลการทดลองอาจให้ค่าอัตราเร่งต่ำกว่าค่าที่คำนวณได้ ความแตกต่างดังกล่าวจึงสามารถนำไปอภิปราย ในส่วนวิเคราะห์ผลการทดลองได้
QUICK REFERENCE
สรุป
หลักสำคัญที่ควรนำไปใช้ในการทำงานห้องปฏิบัติการ
| เรื่อง | หลักการ |
|---|---|
| ตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ | มีนัยสำคัญทุกตัว |
| ศูนย์นำ | ไม่มีนัยสำคัญ |
| ศูนย์กลาง | มีนัยสำคัญ |
| ศูนย์ท้ายในทศนิยม | มีนัยสำคัญ |
| การบวก / ลบ | พิจารณาตำแหน่งทศนิยม |
| การคูณ / หาร | พิจารณาจำนวนเลขนัยสำคัญ |
| ค่าเฉลี่ย | พิจารณาความไม่แน่นอนและการกระจายของข้อมูล |
| ค่าคงตัว | ใช้ค่าที่ละเอียดเพียงพอ และปัดเศษเมื่อสิ้นสุดการคำนวณ |
| Logarithm | พิจารณาความสัมพันธ์ระหว่าง mantissa และเลขนัยสำคัญของข้อมูล |
| การเปรียบเทียบผล | พิจารณา uncertainty ร่วมด้วย |
การรายงานผลที่ดีไม่ใช่การเขียนตัวเลขให้ได้มากที่สุด แต่คือการรายงานตัวเลขเท่าที่การทดลองสามารถอธิบายได้
PHYSICS TOOLSMITH